RASTGELE DEĞİŞKENLER
Bir deney yapıldığında olanaklı sonuçlar bir zarın atılmasındaki sonuçlarda olduğu gibi sayısal miktarlar veya ‘’kusurlu veya kusursuz’’, ‘’siyah veya beyaz’’, ‘’tura veya yazı’’ gibi belirleyici özellikler olabilir. Örneğin; İki zarın atılışında, üst yüzeye gelen sayıların toplamının 9 gelmesi önemli olabilir.
S Örnek uzayın her bir basit olayını yalnız bir gerçek değere dönüştüren X fonksiyonuna rastgele değişken denir. Başka bir deyişle bu değişkenlere; Bir rassal denemenin sonuçlarıyla ilgili sayısal değerleri alan değişkenler de diyebiliriz.
 |
x : S ® A Ì IR olup için x = X (0i)’dir
Görüldüğü gibi rastgele değişken gerçekte bir fonksiyon olup, örnek uzayından gerçek sayı kümesine bir dönüşüm olarak karşımıza çıkmaktadır.
Hileli olmayan bir metal parayı havaya atma ve hangi yüzü geleceğini ele alma deneyini inceleyelim. Tek bir deney için mümkün sonuç olaylar ya ‘yazı’ ya da ‘tura’ olur. Birkaç defa para atılması ve bunlardan kaç tane yazı geleceği şu rassal değişken ile ifade edilebilir :
Örnek: Bir paranın iki kez atılması deneyini düşünelim. Bu deney için örnek uzay:
S= { YY, TY, YT, TT} ‘dır.
X rastgele değişkeni ‘Bulunan turaların sayısı’ olsun. Böylece X’in alabileceği değerler 0,1 ve 2’dir. O halde X sonlu sayıda değer aldığından kesikli rastgele değişkendir.
KESİKLİ RASTGELE DEĞİŞKENLER
X bir rastgele değişken olsun. X’in alabileceği değerlerin sayısı sonlu veya sayılabilir sonsuzlukta ise X’e kesikli rastgele değişken denir.
Örnek: Bir zarın atılması deneyini düşünelim. Bu deney için örnek uzay:
S= {1,2,3,4,5,6} ‘dır.
Bu örnek uzayda sonlu sayıda eleman ( örnek nokta ) vardır. Bu örnek uzay üzerinde
tanımlanan X rastgele değişkeni kesikli rastgele değişkendir.
Kesikli Rastgele Değişken Örnekleri:
* Bir satış elemanının satış yaptığı müşteri sayısı
* Bir parti mal içindeki kusurlu ürün sayısı
* Bir bankada sırada bekleyen kişi sayısı
* Haziran ayında satılan araç sayısı
* İstatistik dersinden kalan öğrenci sayısı
KESİKLİ RASTGELE DEĞİŞKENLERİN DAĞILIM FONKSİYONU
Bir x rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu F(x) ile gösterilir. X’in x’e eşit ya da küçük olması olasılığıdır.
‘dir.X kesikli rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu F(x) olsun. F(x) aşağıdaki iki özelliğe sahiptir.
1) 0 ≤ F(x) ≤ 1
2) F(x) azalmayan bir fonksiyondur. Yani, x1 < x2 F(x1) ≤ F(x2) olur.
Örnek: Zar bir kez atılıyor. Üste gelen noktaların sayısının olasılık fonksiyonunu bulunuz.
Bu deney için örnek uzay; S= { 1,2,3,4,5,6 }’dır.
Zarın üst yüzüne gelen noktaların sayısını X ile gösterelim. X; 1’den 6’ya kadar herhangi bir tam sayı olacaktır. Örnek uzayda 6 nokta vardır ve her biri 1/6 olasılıkla elde edilir.
O halde, X rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu :
X = x | 1 2 3 4 5 6 |
f(x) = P(X = x) |  |
Bu olaslık fonksiyonu aşağıdaki gibi de yazılabilir.
Örnek: Para bir kez havaya atılsın. Bulunan turaların olasılık fonksiyonunu bulunuz.
Bu deney için örnek uzay; S= { Y,T }’dir.
X rastgele değişkeni turaların sayısını göstersin, buna göre X; 0 ve 1 değerlerini alabilir. Örnek uzayda iki nokta vardır; her biri 
olasılıkla elde edilir.
olasılıkla elde edilir.X rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu;
X = x | 0 1 |
f(x) = P(X = x) | |
Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları
• Bernoulli Dağılımı
• Binom Dağılımı (İki Terimli Dağılım)
• Çok Terimli Dağılım
• Geometrik Dağılım
• Negatif Binom Dağılımı
• Hipergeometrik Dağılım
• Poisson Dağılımı
• Düzgün (Uniform) Dağılım
Bernoulli Dağılımı
Bir X rasgele değişkeni için yalnız iki sonuç varsa X’e Bernoulli rasgele değişkeni denir. Bir denemede elde edilecek iki sonuç için genellikle 0 ve 1 değerleri karşılık getirilir. 1 değeri belli bir denemenin başarılı olmasına, 0 ise başarısızlığına karşılıktır.
X rasgele değişkeni 0 ve 1 değerlerini alsın. X’in olasılık fonksiyonu:
p(x=1)=p p(x=0)=1-p=q yada
f(x)= P(x=x) = px (1-p)1-x , x=0,1 ‘ dir.
Bu dağılıma Bernoulli dağılımı denir
Binom Dağılımı (İki Terimli Dağılım)
Birbirinden bağımsız Bernoulli denemesinden başarılı olanların toplam sayısı X rasgele değişkeni olsun. Bir tek deneme için başarılı olma olasılığı p, başarısız olma olasılığı 1-p ise aşağıdaki koşulları sağlayan X’e binom rasgele değişkeni denir.
1) Deney n özdeş denemeden oluşmaktadır.
2) Her bir deneme için yalnız iki sonuç vardır. Başarı (S) ve başarısızlık (F)
3) Bir tek deneme için başarı olasılığı olan p her deneme için aynıdır. Başarısızlık olasılığı q=1-p dir.
4) Denemeler birbirinden bağımsızdırlar.
Örnek: Aşağıdaki deneylerde tanımlanan X, binom rasgele değişkenidir.
1) Bir para 10 kez atılsın. X rasgele değişkeni gözlenen turların sayısıdır.
2) İçinde 8 siyah ve 4 beyaz top bulunan bir kavanozdan tekrar yerine koyarak 3 top çekilsin. X rasgele değişkeni çekilen siyah top sayısıdır.
3) İçinde 3 kusurlu ve 7 kusursuz parça bulunan bir kutudan tekrar yerine koyarak 4 parça seçelim. X rasgele değişkeni seçilen kusurlu parçaların sayısıdır.
Birbirinden bağımsız n Bernoulli denemesi için X, her bir denemede başarı olasılığı p, başarısızlık olasılığı q olan binom rasgele değişkeni ise, X’in olasılık fonksiyonu:
f(x) = n . px (q)n-x , x= 0,1,2,….,n
x
Çok Terimli Rasgele Değişken
E1, E2,…, Ek bir deneyin ayrık sonuçları olsunlar. (X1, X2, …, Xk) rasgele değişkeni n bağımsız denemede her bir Ei ’nin elde ediliş sayısını göstermek
üzere bir tek denemede Ei ’nin elde edilme olasılığı pi (i=1, 2,…, k) olsun. Bu takdirde (X1, X2, …,Xk) rasgele değişkenine çok terimli rasgele değişken denir.
Örnek :
1) Bir kavanozda N1 siyah, N2 kırmızı, N3 yeşil top vardır.
Yine yerine koyarak ardışık olarak n top çekilmiş olsun. Çekilen siyah topların sayısı X1 , kırmızı topların sayısı X2,yeşil topların sayısı X3 olsun. Bu durumda (X1, X2, X3) çok terimli rasgele değişkendir.
2) 52’lik bir desteden ardışık olarak yine yerine koyarak 13 kart çekiliyor. Çekilen kupaların sayısı X1, karoların sayısı X2, maçaların sayısı X3, sineklerin sayısı X4olsun. (X1, X2,X3,X4) çok terimli rasgele değişkendir.
Geometrik Dağılım
Bir deneyin bağımsız Bernoulli denemelerinden oluştuğunu kabul edelim. İlk “başarıyı” elde edinceye kadar bağımsız denemeleri yapmaya devam edersek, ilk başarının elde edilmesi için gereken denemelerin sayısı geometrik rasgele değişkendir.
Bağımsız Bernoulli denemelerinin bir dizisinde her bir deneme için başarı olasılığı p ve ilk başarının elde edilmesi için gerekli denemelerin sayısı X rasgele değişkeni olsun. Bu durumda X’e geometrik rasgele değişken denir.
Örnek: Aşağıdaki örnekler geometrik rassal değişkenlerle ilgilidir.
1) Bir para tura gelinceye kadar atılsın. X ilk turayı bulmak için gereken atışların sayısı olsun. X, geometrik rassal değişkendir.
2) Bir kutuda 6 kusurlu, 7 kusursuz parça vardır. Parçalar ardışık olarak tekrar yerine konarak çekiliyor. Burada X, kusurlu parça elde edilinceye kadar gereken çekilişlerin sayısı X geometrik rassal değişkenidir.
: X, bir tek denemede başarısızlık olasılığı q=1-p ve başarı olasılığı p olan geometrik rassal değişken ise, X’in olasılık fonksiyonu:
f(x) = P(X=x) = q x-1 . p, x= 1,2,….
Negatif Binom Dağılımı
Varsayalım ki bir deney birbirinden bağımsız Bernoulli denemelerinden oluşmaktadır. Bu deneye K başarı elde edinceye kadar devam edersek, K başarının elde edilmesi için gerekli denemelerin sayısı negatif binom rasgele değişkenidir.
Bağımsız Bernoulli denemeleri dizisinde her bir denemede başarı olasılığı p olmak üzere K≥1
başarının elde edilmesi için gereken denemelerin sayısı X rasgele değişkeni olsun. Bu durumda X’e negatif binom rasgele değişkeni denir.
Örnek:
1) 3 tura gelinceye kadar bir paranın ardışık olarak atılması durumunda X, “3 tura elde etmek için gereken atışların sayısı” negatif binom rassal değişkenidir.
2) Bir kutuda 3 kusurlu, 7 kusursuz parça vardır. Parçalar tekrar yerine konularak ardışık olarak çekildiği durumda X, “3 kusursuz parça elde edinceye kadar gerekli çekilişlerin sayısı” negatif binom rassal değişkenidir.
Bir tek denemedeki başarısızlık olasılığı q=1-p ve başarı olasılığı p olmak üzere, X negatif binom rasgele değişkeni ise, K başarının gerçekleşmesi için, X rasgele rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu aşağıdadır:
f(x) = x-1 , p k . (1-p) x-k , x=K, K+1,…
k-1
Bu fonksiyona PASCAL Dağılımı da denir. K=1 ise Negatif Binom Dağılımı, Geometrik Dağılıma indirgenir.
Hipergeometrik Dağılım
Sonlu sayıda N öğeden oluşan bir kitle içinde belli bir A tipindeki öğelerin sayısı a olsun. Tekrar yerine koymaksızın rasgele çekilen ve n birimden oluşan bir örneklemdeki A tipinden öğelerin sayısı X olsun. Bu durumda X’e hipergeometrik rassal değişken denir.
Örnek:
1) Bir kavanozda 4 beyaz ve 6 siyah top vardır. Tekrar yerine koymaksızın 3 top çekiliyor. Bu durumda X rassal değişkeni “çekilen siyah topların sayısı” hipergeometrik rassal değişkendir.
2) Bir kutuda 4 kusurlu, 8 kusursuz parça vardır. Çekileni yerine koymadan 3 parça çekiliyor. X rassal değişkeni “çekilen kusurlu parçaların sayısı” hipergeometrik rassal değişkendir.
Poisson Dağılımı
Pek çok deney sürekli bir zaman aralığında, bir alanda ya da hacimde bir olayın sayılması sonucunda 0,1,2,… değerlerinin verilmesiyle oluşur.
Birim zaman: dakika, saat, gün, hafta
Birim uzay: uzunluk, alan, hacim olabilir.
Poisson dağılımı sürekli uzayda kesikli veriler veren deneylere uygulanır.
Verilmiş bir zaman aralığında bir alanda yada hacimde başarıların sayısı X rassal değişkeni olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan X’e Poisson Rassal Değişkeni denir.
1) Deney, verilmiş bir birim zaman, alanda ya da hacimde bir olayın (başarının) elde ediliş sayılarının sayılmasıyla oluşur.
2) İki ayrık birim zamanda, alanda ya da hacimde elde edilecek başarıların sayıları birbirinden bağımsızdır.
3) Bir birim zaman, alan veya hacimdeki başarı olasılığı tüm birimler için aynıdır.
4) Çok küçük bir zaman aralığı, alan yada hacimde iki ya da daha çok başarının olması hemen hemen olanaksızdır. Yani bu durumda birden çok başarının olması olasılığı sıfıra yaklaşır.
5) Bir birim zaman, alan ya da hacimde bir sonucun ortalama elde ediliş sayısı λ’dır.
Örnek:
a) Büyük bir şehirde trafiğin yoğun olduğu bir kavşakta aylık otomobil kazalarının sayısı
b) Bir üretim malındaki kusurların sayısı
c) Bir telefon santralında her bir dakika için gerçekleşen telefon konuşmalarının sayısı
d) Yeni bir otomobilde kalite kontrolörleri tarafından saptanan yüzey hatalarının sayısı
e) Bir hava alanına her saat inen uçakların sayısı
Düzgün (Uniform) Dağılım
X rasgele değişkeni tümü eşit olasılıklı N sonuca sahipse, X’e kesikli düzgün rassal değişken denir.
Örnek:
1) Bir parayı bir kez atalım. X=0 yazı gelmesi sonucunu, x=1 tura gelmesi sonucunu göstersin. Burada X kesikli düzgün rassal değişkendir.
2) 52’lik bir desteden bir kart çekelim. Bu durumda X “çekilen herhangi bir kart” kesikli düzgün rassal değişkendir.
X rasgele değişkeninin alabileceği değerlerx1,x2,…,xN olsun. X’in olasılık fonksiyonu:,
f(x) = P(X=x) = 1/N , x= x 1 ,x 2 +,……., x N
Bu dağılıma kesikli düzgün dağılım denir.
Örnek:
Bir para bir kez atılıyor.Tura sayısının dağılımı nedir?
Bir para bir kez atıldığında turaların sayısı X olsun. Bu takdirde X kesikli düzgün dağılıma sahiptir.
f(x) = P( X=x) = ½ , x= 0,1
OKAN YAKUTÇukurova Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi
İşletme (2011)
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder